مناقشة أطروحة دكتوراه في كلية التربية للعلوم الصرفة – جامعة ذي قار

نوقشت في كلية التربية للعلوم الصرفة بجامعة ذي قار أطروحة الدكتوراه الموسومة:

(نهج جديد لمعالجة المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية الزمنية متعددة الأبعاد)،

للباحث صاحب عبد الكاظم ساجت، وذلك على قاعة الشهيد السيد حسن نصر الله.

وجرت المناقشة بحضور عميد كلية التربية للعلوم الصرفة الأستاذ الدكتور عماد عبد الرزاق سلمان المحترم.
وتألفت لجنة المناقشة من السادة:
• أ.د. ميادة غصاب محمد – جامعة ذي قار/ كلية التربية للعلوم الصرفة – رئيسًا
• أ.د. حبيب عبد كاظم – جامعة ذي قار / كلية علوم الحاسوب والرياضيات – عضوًا
• أ.د. رشيد بشير رحيمة – جامعة سومر / كلية التربية – عضوًا
• أ.م.د. علاء خليف جحيل – جامعة ذي قار/ كلية التربية للعلوم الصرفة– عضوًا
• أ.م.د. سمر كاظم عجيل – جامعة ذي قار / كلية التربية للعلوم الصرفة – عضوًا
• أ.د. حسن كامل جاسم – جامعة ذي قار / كلية التربية للعلوم الصرفة – عضوًا ومشرفًا

وبعد مناقشة علمية مستفيضة، ودفاع الباحث عن أطروحته والنتائج التي توصل إليها، قررت اللجنة قبول الأطروحة.

هدف الدراسة:
1. اقتراح مؤثر كسري جديد (SHJ Fractional Operator) يعتمد على نواة غير منفردة (Non-singular Kernel)، بهدف تطوير مؤثر يتمتع بخصائص تحليلية جيدة ويكون أكثر كفاءة
في نمذجة الظواهر ذات الذاكرة والتأثيرات غير المحلية.
2. إثبات الخصائص الرياضية للمؤثر الجديد، مثل الخطية، ووجود المؤثر التكاملي المقابل، وصحة علاقته بالتحويلات الرياضية، وإثبات عدد من المبرهنات المتعلقة به.
3. تطبيق المؤثر الجديد على مجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية الخطية وغير الخطية باستخدام عدة طرائق شبه تحليلية وهي.
– طريقة لابلاس–أدوميان (Laplace–Adomian).
– طريقة الهوموتوبي (HPM).
– طريقة بيكار (PIM).
– طريقة دفتردار–جعفري (DJM).
4. إجراء مقارنة علمية بين المؤثر الجديد وعدد من المؤثرات الكسرية الحديثة، مثل:
– المؤثر σ-Differentiable.
– المؤثر α-Generalized.
– وبعض المؤثرات الأخرى الواردة في الأدبيات، بهدف تقييم الأداء التحليلي والعددي للمؤثر الجديد.
5. التحقق عدديًا من دقة المؤثر الجديد باستخدام MATLAB، من خلال مقارنة الحلول التقريبية مع الحلول الدقيقة وتحليل التقارب والأخطاء العددية.

الاستنتاجات :
من خلال الدراسة توصلت الأطروحة إلى النتائج الآتية:
1. تم اقتراح مؤثر كسري جديد (SHJ) وإثبات خصائصه الرياضية بصورة منهجية، مما يجعله صالحًا لمعالجة المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية متعددة الأبعاد.
2. أظهر المؤثر الجديد كفاءة عالية عند تطبيقه على نماذج مختلفة مثل:
▪︎ معادلة برغر الكسرية (Fractional Burgers’ equation).
▪︎ معادلة Heat-like.
▪︎ نظام كسري ثلاثي الأبعاد.
3. أظهرت النتائج العددية أن المؤثر الجديد حقق تقاربًا سريعًا ودقة عالية عند استخدام عدة طرائق شبه تحليلية، وكانت النتائج متوافقة فيما بينها.
4. بينت الدراسة المقارنة أن مؤثر SHJ يمتلك أداءً عدديًا وتحليليًا منافسًا مقارنة بالمؤثرات الكسرية الحديثة المستخدمة في الأدبيات.
5. تم إثبات وجود الحل ووحدانيته لبعض النماذج باستخدام مبرهنة باناخ، مما وفر أساسًا رياضيًا متينًا للطريقة المقترحة.
6. أثبتت التطبيقات أن المؤثر الجديد يتمتع بالمرونة وقابلية التعميم على نماذج رياضية أخرى ذات طبيعة غير محلية ومتعددة الأبعاد.

التوصيات :
1. تطوير إطار مؤثر SHJ ليشمل طيفًا أوسع من المعادلات الكسرية غير الخطية والأنظمة المقترنة.
2. تطوير طرائق تقريبية تكيفية وعالية الرتبة لتحسين سرعة التقارب وتقليل الخطأ العددي.
3. إجراء دراسات مقارنة أوسع بين مؤثر SHJ والمؤثرات الكسرية الحديثة التي ظهرت في السنوات الأخيرة.
4. دراسة أداء المؤثر تحت شروط ابتدائية وحدودية مختلفة، وخاصة في المجالات الهندسية المعقدة.
5. تطبيق المؤثر الجديد على مسائل عملية في الفيزياء والهندسة والعلوم التطبيقية، مثل الانتشار، وانتقال الموجات، والأنظمة البيولوجية.
6. توسيع الإطار النظري ليشمل دراسة الاستقرارية (Stability).
7. تطوير طرائق هجينة تجمع بين مؤثر SHJ وطرائق تحليلية أو عددية أخرى لزيادة الدقة وتوسيع نطاق التطبيقات.