مناقشة رسالة ماجستير في كلية التربية للعلوم الصرفة
نوقشت رسالة ماجستير في كلية التربية للعلوم الصرفة – جامعة ذي قار ، لقسم الرياضيات، والموسومة:
(أنواع جديدة من المخططات (الرسوم البيانية) المعرفة على الحلقات)
“New Types of Graphs Defined on Rings”
للباحثة سماح مصطفى محمد، بحضور عميد كلية التربية للعلوم الصرفة الأستاذ الدكتور عماد عبد الرزاق سلمان المحترم.
تألفت لجنة المناقشة من السادة:
• أ.م.د. محمد علي ابراهيم / جامعة البصرة / كلية العلوم – رئيسًا
• أ.م.د. حسين خشان كاظم/ جامعة ذي قار / كلية التربية للعلوم الصرفة – عضوًا
• م.د. يعقوب عبد الحسين فراوي / جامعة ذي قار/ كلية علوم الحاسوب والرياضيات– عضوًا
• أ.م.د. احمد حسن علوان/ جامعة ذي قار / كلية التربية للعلوم الصرفة – عضوًا ومشرفًا
وبعد مناقشة علمية مستفيضة ودفاع الباحثة عن رسالتها والنتائج التي توصلت إليها، قررت اللجنة قبول الرسالة.
الأهداف
1. استكشاف وتطوير هياكل بيانية جديدة: تقديم وتعريف أنواع جديدة من الرسوم البيانية المرتبطة بالحلقات (مثل n-Total و n-Regular و I-Regular و Comaximal Simp Intersection Graph) ، وإثراء الجانب النظري في تداخل نظرية الحلقات مع نظرية المخططات.
2. تحليل الخصائص الهيكلية للمخططات المعرفة: دراسة الخصائص الهيكلية لهذه المخططات، مثل الاتصال (connectivity)، القطر (diameter)، الطوق (girth)، وتوزيع درجات الرؤوس، وفهم كيفية تأثير خصائص الحلقة الأصلية على شكل ومميزات المخطط المرتبط بها.
3. توصيف المخططات (Characterization): إيجاد الظروف الضرورية والكافية التي تجعل هذه المخططات تحقق خصائص معينة، مثل كونها مخططات كاملة (complete) أو ثنائية الأجزاء (bipartite)، أو تحديد الحالات التي يكون فيها المخطط غير متصل.
4. تعميم المفاهيم السابقة: تعميم المفاهيم المعروفة في الأدبيات الرياضية، مثل الانتقال من Reg(Γ(R)) إلى المخطط I- Reg(Γ(R)) باستخدام مثاليات (ideals) مختلفة، مما يوفر رؤية أوسع وأكثر شمولاً للعلاقات داخل الحلقات.
5. توضيح العلاقة بين نظرية المثاليات ونظرية المخططات: تأسيس صلة جوهرية بين بنية المثاليات (Ideal structure) في الحلقات (وأنصاف الحلقات) وأنماط التجاور (adjacency patterns) في المخططات الناتجة، مما يساهم في فهم التفاعل بين الخصائص الجبرية والبيانية.
الاستنتاجات
في هذه الرسالة، استكشفنا أنواعاً جديدة من المخططات (الرسوم البيانية) المعرفة على الحلقات التبادلية، وأرسَيْنا العديد من الروابط بين خصائصها الجبرية والتوافقية. ويمكن تلخيص استنتاجات بحثنا فيما يلي:
في البداية، قدمنا دراسة شاملة للمفاهيم الأساسية في نظرية المخططات ونظرية الحلقات، مما وضع ركائز أساسية لازمة لفهم المخططات التي تم تعريفها لاحقاً، وأتاح لنا إجراء تحليل دقيق للبنى الهيكلية لهذه المخططات. كما أجرينا بحثاً مستفيضاً حول الخصائص الهيكلية لـ مخططات n-الكلية (n-total graphs) ومخططات n-المنتظمة (n-regular graphs) المعرفة على الحلقات التبادلية. وقد حددنا في بحثنا شروط اتصال هذه المخططات، والخصائص الجوهرية لأقطارها (diameters) ومحيطاتها (girths) استناداً إلى البنية الجبرية للحلقة (R) والمثالي (I) .علاوة على ذلك، أثبتنا وجود ارتباطات جوهرية بين تماثل الحلقة والثوابت التوافقية للمخططات الناتجة، بما في ذلك معايير التمام (completeness) وخصائص هاملتون (Hamiltonicity). وتوفر هذه النتائج إطاراً قوياً يبرز التفاعل المعقد بين الجبر التجريدي ونظرية المخططات.
إضافة إلى ذلك، قمنا بتعريف ودراسة المخططات المنتظمة بالنسبة للمثالي I، حيث بحثنا في خصائص المحيط والقطر والتمام لهذه المخططات بالارتباط مع المثالي (I) .وقد أثبتنا أن هذا النوع من المخططات يكون متصلاً إذا وفقط إذا استوفت الحلقة (R) قيوداً جبرية معينة. كما قمنا بتوصيف الظروف التي تصبح فيها هذه المخططات تامة أو ثنائية الأجزاء (bipartite)، رابطين إياها مباشرة بخصائص حلقة القسمة (R/I). وأخيراً، قدمنا مفهوم مخطط التقاطع البسيط المتكامل (Comaximal simple intersection graph) للمثليات في الحلقات وأشباه الحلقات. وقد لاحظنا أن رقم الزمرة ورقم التلوين لهذا المخطط يرتبطان ارتباطاً وثيقاً بعدد المثليات العظمى في الحلقة. وبناءً على ذلك، أثبتنا أن هذا المخطط -بالنسبة لفئات معينة من الحلقات- هو مخطط تام ضعيف (weakly perfect graph)، مما يمثل جسراً يربط بين تقاطع المثليات والثوابت الهيكلية الكلية للحلقة.
التوصيات:
1. دراسة مخطط الوحدات الفرعية الكلي والخاص (total-proper submodule graph) للمقاس (module M)، مع توسيع مفهوم المخططات الكلية من الحلقات إلى المقاسات، والبحث في كيفية تأثير البنية الجبرية للمقاس (M) على اتصال المخطط وقطره.
2. استكشاف مكمل المخطط المنتظم بالنسبة للمثالي (complement of the I-Regular graph) ودراسة مؤشره التلويني (chromatic index)، ورقم الزمرة الخاص به، وما إذا كان يمتلك خصائص المخطط التام (perfect graph) تحت شروط نظرية حلقية محددة.
3. تعريف وبحث النسخ الموجهة (directed versions) من المخططات المنتظمة للحلقات، حيث تتحدد المجاورة (adjacency) من خلال تعيينات جبرية محددة أو تشاكلات ذاتية (endomorphisms) داخل الحلقة (R).
4. دراسة الخصائص الطوبولوجية لمخطط التقاطع البسيط المتكامل، مثل “الجنس” (genus) و”القدرة على الرسم المستوي” (planarity)، خاصة عندما تكون الحلقة (R) منتهية أو تحقق شرط “آرتينين” (Artinian condition).
5. إجراء دراسة تفصيلية لـ مخطط التقاطع الأولي (prime intersection graph) للحلقة، مع التركيز على العلاقة بين “بُعد كرول” (Krull dimension) للحلقة والثوابت المتعلقة بالمسافة في المخطط، مثل المحيط ونصف القطر.
